logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA

1.   INGKARAN ( NEGASI )

Negasi p ditulis “~p” atau “ p’ “ atau “ Non p “

Negasi p diperoleh dengan menambah kata “Tidak benar bahwa” atau kalimat yang isinya sama

Contoh :

p = Tujuh adalah bilangan prima                     q = Amir memakai baju putih

~p = Tidak benar tujuh adalah bilangan prima   ~q = Tidak benar bahwa Amir memakai baju putih

~p = Tujuh bukan bilangan prima                   ~q = Amir memakai baju tidak berwarna putih

                                                                 ~q = Amir memakai baju berwarna selain putih

Skema Ingkaran :

No.	Pernyataan p	Pernyataan ~p	No.	Pernyataan p	Pernyataan ~p
1.	Pandai	Tidak pandai Bodoh	6.	=	≠
2.	Rajin	Tidak rajin Malas	7.	>	≤
3.	Putih	Tidak putih Berwarna selain putih	8.	<	≥
4.	Hari Senin	Tidak hari Senin Selain hari Senin	9.	≥	<
5.	Kurang dari	Lebih atau sama dengan	10.	≤	>

Skema Ingkaran Pernyataan berkuantor:

No.	Pernyataan p	Pernyataan ~p	No.	Pernyataan p	Pernyataan ~p
1.	Semua … Setiap …	Tidak semua … Beberapa … tidak … Ada … yang tidak …	2.	Beberapa … Ada … yang …	Tidak ada … yang … Semua … tidak …

Contoh :

p = Semua bilangan prima adalah bilangan genap

~p = Tidak semua bilangan prima adalah bilangan genap

~p = Beberapa bilangan prima adalah bukan bilangan genap

~p = Ada bilangan prima yang bukan bilangan genap

p = Beberapa siswa memakai jam tangan

~p = Tidak ada siswa yang memakai jam tangan

~p = Semua siswa tidak memakai jam tangan

2.   NILAI KEBENARAN

Contoh : p = Siswa SMA adalah manusia ( bernilai B ) ~p = Siswa SMA bukan manusia ( bernilai S ) Jika p bernilai benar maka ~p  bernilai salah

a. Ingkaran / Negasi

p	~p
B	S
S	B

b. Konjungsi

p	q	p ^ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

c. Disjungsi

P	q	Contoh : p = Amir dibelikan sepatu q = Amir dibelikan tas p v q = Amir dibelikan sepatu atau tas  p v q bernilai salah jika p salah dan q salah, selain itu bernilai benar   p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Bersambung ..

d.  Implikasi

p	q	pq
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh : p = Amir lulus Ujian Nasional q = Amir nilainya baik pq = Amir lulus Ujian Nasional jika dan hanya jika nilainya baik pq bernilai benar jika nilai p dan q sama, jika tidak sama bernilai salah

e.  Biimplikasi

p	q	pq
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

3.   NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK

a. Negasi dari ingkaran yaitu ~ (~ p ) = p

b. Negasi dari konjungsi yaitu ~ ( p ^ q ) = ~ p  v  ~ q

c. Negasi dari disjungsi yaitu ~ ( p v q ) = ~ p  ^  ~ q

d. Negasi dari implikasi yaitu ~ (pq) = p  ^  ~ q

e. Negasi dari biimplikasi yaitu ~ (pq) = p ^ ~ q  atau  q ^ ~ p

4.   PENARIKAN KESIMPULAN

a. Modus Ponens :                            Contoh :

     Pernyataan 1 : p  q benar          1. Jika Amir lulus ujian maka ia dibelikan motor baru

     Pernyataan 2 :         p benar         2. Amir lulus ujian    

     −̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶        −̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶

     Kesimpulan    :        q benar          Kesimpulan : Amir dibelikan motor baru

b. Modus Tollens :                            Contoh :

     Pernyataan 1 : p  q benar          1. Jika Amir lulus ujian maka ia dibelikan motor baru

     Pernyataan 2 :         q salah          2. Amir tidak dibelikan motor baru

     −̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶        −̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶

     Kesimpulan    :        p salah          Kesimpulan : Amir tidak lulus ujian

c. Silogisme :                                   Contoh :

     Pernyataan 1 : p  q  benar         1. Jika Amir lulus ujian maka ia dibelikan motor baru

     Pernyataan 2 : q  r  benar          2. Jika Amir dibelikan motor baru maka ia rajin ngojek

     −̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶        −̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶−̶

     Kesimpulan    : p  r  benar         Kesimpulan : Jika Amir lulus ujian maka ia rajin ngojek

5.   KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

a. Konvers dari  p  q adalah q  p

b. Invers  dari  p  q adalah ~p  ~q

c. Kontraposisi dari  p  q adalah ~q  ~p

Catatan :

a.  Suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya.

     Sehingga  p  q = ~q  ~p

b.  Konvers dari unvers suatu implikasi adalah kontraposisi

c.  Invers dari kontraposisi suatu implikasi adalah konvers

d.  kontraposisi dari konvers suatu implikasi adalah invers